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Casquete esférico

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Un casquete esférico, en geometría, es la parte de una esfera cortada por un plano. Si dicho plano pasa por el centro de la esfera, la altura del casquete es igual al radio de la esfera, y el casquete esférico será un hemisferio (semiesfera).

Superficie y volumen

Si el radio de la esfera es r \,, el radio de la base del casquete a \,, y la altura del casquete h \,, el área de la superficie curva del casquete esférico es:mathforum.org
el radio de la esfera se lo puede relacionar con el radio de la base del casquete y con la altura de este a través del teorema de Pitágoras:
{{ecuación
(r-h)^2 + a^2 = r^2 \,
r^2 +h^2 -2rh +a^2 = r^2 \,
r = \frac {a^2 + h^2{2h
left
reemplazando esto en la fórmula anterior del área se obtiene otra formula en función de a \, y h \,.
{{ecuación
A = 2 \pi \frac{(a^2 + h^2){2h h = \pi (a^2 + h^2) \,
left
El volumen del casquete esférico es:
{{ecuación
V = \frac {\pi h{6 (3a^2 + h^2)
left
Otra expresión para hallar el volumen del casquete esférico, en función del radio de la esfera y de la altura del casquete, es:
{{ecuación
V_c = \frac {\pi h^2{3 (3r - h)
left

Demostración


Las fórmulas anteriores salen por medio de cálculo de volúmenes utilizando integrales definidas.
A partir del Teorema de Pitágoras, obtenemos que:
De ahí se puede calcular explícitamente a y aplicando el método de los discos (véase sólido de revolución), se obtiene:
π sale de la integral ya que es una constante, y resolviendo el producto notable queda:
{{ecuación
V_c = \pi \int (2rh - h^2)\, dh = \pi \left(rh^2 - \frac{h^3{3\right) = \frac{1{3\pi h^2(3r - h)
left

Véase también

  • Segmento circular – análogo bidimensional
  • Corona esférica

Referencias


Enlaces externos


  • Calculadora de volumen y área de un casquete esférico
  • Formulario de áreas y volúmenes
  • Summary of spherical formulae

Categoría:Figuras geométricas
 
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